【テンソル積】環のテンソル積は圏論的「直和」である。

加群の直和は、有限個の場合直積と一致します。

では、環の場合にも、その環から積を忘れたものの直和ってことで、有限個の直積を直和と思うのは良いのでしょうか。⊕の記号を×の代わりに使うのは筋が悪くないのでしょうか。

今回得た知見は、

「環における圏論的直和はテンソル積である」

ということです。

つまり、環の直積を直和記号⊕で書くのは避けるべきものだということです。

実際、テンソル積と直積は一般には環同型となりません。

より正確には、環はZ代数であり(以下Zは有理整数環)、対象をZ代数、射をZ代数の準同型とした時の直和が(Z上の)テンソル積であるということです。

圏論的な概念はよく知りませんが、だいたいわかった気がします。

今はいろいろやることがあるせいでじっくり色々考えられていませんが、テンソル積を直和の普遍性を満たすものだと思って見直すとなにか理解が深まったりするんでしょうか。ひとまずこれは期末試験が終わったら考えることにしましょう。

参考になったのは以下のツイートでした。

なんかくどいのですが, 昨晩の話をまとめてみます. まず, 2つの環A,Bに対してA,Bは積構造を忘れることでアーベル群だと思うことができますね. この様にして得られるアーベル群を環の下部アーベル群といいます. この時, A×Bには自然にアーベル群の構造が定まります.
— から (@kara1216_) 2023年7月27日