整域の直積は整域とは限らない

代数-環論 代数

丁度n個の素元をもつUFDを考えたかった。

おっ！DVRのn個の直積でいいのでは！？と思った。

PIDのn個の直積がPIDならいいな……

でもちがうな。

UFDのn個の直積がUFDならいいな……

 

うっ……そもそも整域のn個の直積は整域とは限らねぇ！！

Z×Zの元(1,0)と(0,1)は掛けたら0だっ！